一題數學問題...

如何計算7*77*777*7777*77777*.........*777777.......777777 (333個7)的最後四位數字謝謝
7*77*777*7777*77777*.........*777777.......777777≡ 7*77*777*7777*7777*....*7777≡ 7*77*777*7777(333-4 1)≡ 7*77*777*7777330≡ 7*(7*11)*(3*7*37)*(7*11*101)330≡ 3*7333*11331*37*101330≡ 3*4407*9811*37*3001≡ 6547 (mod 10000)==========分隔線==========72 ≡ 9 ≡ -1 (mod 10)72 1 ≡ 0 (mod 10)(72 1)2 ≡ 0 (mod 100)74 2*72 1 ≡ 0 (mod 100)74 ≡ 1 (mod 100)74k ≡ 1 (mod 100)74k-1 ≡ 0 (mod 100)(74k-1)2 ≡ 0 (mod 10000)78k-2*74k 1 ≡ 0 (mod 10000)78k ≡ 2*74k-1 (mod 10000)7332≡ 2*7116-1≡ 2*74*7112-1≡ 2*74*(2*756-1)-1≡ 22*74*756-2*74-1≡ 22*74*(2*728-1)-2*74-1≡ 23*732-6*74-1≡ 23*(2*716-1)-6*74-1≡ 24*716-6*74-9≡ 24*(2*78-1)-6*74-9≡ 25*78-6*74-25≡ 25*(2*74-1)-6*74-25≡ 26*74-6*74-57≡ 58*74-57≡ 9201 (mod 10000)7333≡ 7*7332≡ 7*9201≡ 4407 (mod 10000)==========分隔線==========11 ≡ 1 (mod 10)11-1 ≡ 0 (mod 10)(11-1)2 ≡ 0 (mod 100)112-2*11 1 ≡ 0 (mod 100)112 ≡ 21 (mod 100)113 ≡ 11*112 ≡ 11*21 ≡ 31 (mod 100)114 ≡ 11*112 ≡ 11*31 ≡ 41 (mod 100)...119 ≡ 91 (mod 100)1110 ≡ 1 (mod 100)1110k ≡ 1 (mod 100)1110k-1 ≡ 0 (mod 100)(1110k-1)2 ≡ 0 (mod 10000)1120k-2*1110k 1 ≡ 0 (mod 10000)1120k ≡ 2*1110k-1 (mod 10000)11320 ≡ 2*11160-1 ≡ 2*(2*1180-1)-1 ≡ 22*1180-3 ≡ 22*(2*1140-1)-3 ≡ 23*1140-7 ≡ 23*(2*1120-1)-7 ≡ 24*1120-15 ≡ 24*(2*1110-1)-15 ≡ 25*1110-31 (mod 10000)11330 ≡ 1110*11320 ≡ 1110*(25*1110-31) ≡ 25*1120-31*1110 ≡ 25*(2*1110-1)-31*1110 ≡ 26*1110-32-31*1110 ≡ 33*1110-32 (mod 10000)11 ≡ 11 (mod 10000)112 ≡ 121 (mod 10000)113 ≡ 1331 (mod 10000)114 ≡ 4641 (mod 10000)115 ≡ 1051 (mod 10000)116 ≡ 1561 (mod 10000)117 ≡ 7171 (mod 10000)118 ≡ 8881 (mod 10000)119 ≡ 7691 (mod 10000)1110 ≡ 4601 (mod 10000)PS:這串有個技巧的算法例如 知道113 ≡ 1331 要算114　１３３１１３３１１４６４１可以看出來114的個位數就是113的個位數可以看出來114的十位數就是113的個位數 十位數可以看出來114的佰位數就是113的十位數 佰位數可以看出來114的仟位數就是113的佰位數 仟位數也可以推廣到下面的11*4601及11*180111331≡ 11*11330≡ 11*(33*1110-32)≡ 11*(33*4601-32)≡ 11*(3*11*4601-32)≡ 11*(3*611-32)≡ 11*(1833-32)≡ 11*1801≡ 9811 (mod 10000)==========分隔線==========101 ≡ 1 (mod 100)101k ≡ 1 (mod 100)101k-1 ≡ 0 (mod 100)(101k-1)2 ≡ 0 (mod 10000)1012k-2*101k 1 ≡ 0 (mod 10000)1012k ≡ 2*101k-1 (mod 10000)101330 ≡ 2*101115-1 ≡ 2*101*101114-1 ≡ 2*101*(2*10157-1)-1 ≡ 22*10158-2*101-1 ≡ 22*(2*10129-1)-2*101-1 ≡ 23*101*10128-2*101-5 ≡ 23*101*(2*10114-1)-2*101-5 ≡ 24*101*10114-10*101-5 ≡ 24*101*(2*1017-1)-10*101-5 ≡ 25*1018-26*101-5 ≡ 25*(2*1014-1)-26*101-5 ≡ 26*1014-26*101-37 ≡ 26*(2*1012-1)-26*101-37 ≡ 27*1012-26*101-101 ≡ 27*(2*101-1)-27*101 ≡ 28*101-27*101-128 ≡ 256*101-28*101-27 ≡ 228*101-27 ≡ 3001 (mod 10000)==========分隔線==========a ≡ b (mod n) 不能推得 a2 ≡ b2 (mod n2)但是 a-b ≡ 0 (mod n) 可以推得 (a-b)2 ≡ 0 (mod n2)這不難証明a-b ≡ 0 (mod n)=